Conceitos Estatísticos para RPG 2: Variância e Desvio Padrão

Abstract:


Esta postagem introduz, em linhas gerais, como conceitos básicos de estatísticas podem ser aplicados aos sistemas de RPG.
This topic introduces, in general lines, how basic concepts involving estatistics can be used for better system balancing in role playing games.


Para entender como foram geradas todas as tabelas de probabilidades, veja a folha de cálculo > http://www.4shared.com/file/ti8UR0A4/dices.html


A matéria é chata, então tentamos ser o mais objetivos e sucintos possível. Esperamos que gostem.


Work work:

Começaremos falando de d6s, depois misturaremos alguns d8s em homenagem aos jogadores de d20.

No lançamento de 1d6 temos igual probabilidade de cair qualquer uma das faces. Logo, a chance de tirarmos qualquer número é 1/6 = 16,67 %: 

O universo amostral de 1d6 é:

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A média de 1d6 é:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 3,5

            6

Agora vamos analisar qual o efeito dos modificadores e duplicadores de dados. As operações matemáticas básicas se refletem diretamente tanto sobre o universo amostral quanto sobre a média.

Por exemplo: Se a média de 1d6 vale 3,5 e seu universo amostral de 1 a 6; a média de 2d6 valerá o dobro (7,0) assim como o universo amostral compreenderá valores de 2 a 12. A média de 3d6 será 10,5 (universo amostral = 3 a 18); e assim sucessivamente.

Da mesma forma, a média de 1d6 + 1 = Média de 1d6 + 1 = 3,5 + 1 = 4,5.
Média de 1d6 + 2 = 5,5
Média de 2d6 + 5 = 2 . 3,5 + 5 = 12


Quanto ao desvio padrão e à variância, as operações matemáticas de soma e subtração não alteram seus valores para uma mesma dada amostra. Porém, a multiplicação e a divisão alteram de forma significativa, sendo necessário calcula-los de novo.


A média é uma ferramenta importante se associada à variância e ao desvio padrão. Lembremos do conceito estatístico dos "68- 95- 99,7%"(1). Esse conceito diz que, para distribuições probabilísticas normais (=gaussianas), há cerca de 68% de probabilidade de ocorrência dos valores que estão no intervalo entre média mais ou menos 1 desvio padrão (σ), 95% no intervalo ± 2σ (duas vezes o desvio padrão) e  99,7% no intervalo ± 3σ. Veja figura abaixo para melhor ilustração:

Fonte: Wikipedia

Para ver como foi calculado o desvio padrão e a variância de 3d6, veja a folha de cálculo. Dela saíram todas as tabelas desta postagem.


Por enquanto, não se preocupe caso não saiba o que é uma distribuição normal ou gaussiana. Tenha em mente apenas que qualquer rolagem de apenas 1 ou 2 dados equilibrados não configura tal distribuição (1d6, 1d8, 2d4, 2d20 etc). A partir de 3 dados, a distribuição de resultados já pode ser considerada normal.


Veja a tabela de rolagens de 3d6:

Temos:


Média (X) = 10,5
Desvio Padrão (σ) = aproximadamente 3.00
X - σ = 7,5
X + σ = 13,5

X - 2.σ = 4,5
X + 2.σ = 16,5



Logo, esperamos que 68% das rolagens de 3d6 tenham valores maiores que 7,5 e menores que 13,5, ou seja, entre 8 e 13. E que para 95% delas entre 5 e 16. Podemos dizer também que 95% - 68% = 27% das rolagens deverão resultar em 5, 6, 7, 14, 15 ou 16.


Agora vamos analisar tais números em situação de jogo. Tomemos como exemplo um personagem. O guerreiro Dacio Cupramin. Vamos supor que Dacio tem DX 11, e deseja aprender a perícia Espada Longa (BS p.182). (DX average)
Seu NH começa em 10 com custo de 1 xp.


Aumentar de 10 para 11 custa 1 xp, e as chances de acerto sobem em 12,5%.
Aumentar de 11 para 12 custa 2 xp, e as chances de acerto sobem em 11,57%.
Aumentar de 12 para 13 custa 2 xp, e as chances de acerto sobem em 9,72%.


Repare que ao mesmo tempo em que os custos em xp de comprar maiores níveis de perícias aumentam, a variação do aumento significativo na sua chance de acerto diminui.
É importante observar que no caso de seu NH (Nível de Habilidade = Skill Level) ser 10, custa apenas 1 xp para aumentar para 11. E em benefício as chances de acerto são aumentadas em 12,5%, o que é uma grande vantagem. Em suma, a efetividade de aumentar as pericías acima dos níveis médios é maior do que aumenta-las acima dos níveis extremos. Por exemplo, aumentar seu NH de 15 para 16 implica em uma adição apenas de 2,78% de chances de acerto.


Ainda assim, para algumas perícias em particular, é válido ter um NH alto, pois algumas delas sempre vem carregadas de penalidades, como por exemplo o ataque à distância.


Mas até que nível Dácio deve aprender espada longa então? Isso é o jogador que decide. No meu caso, eu escolheria NH 13. Custará 4 pontos e teremos ~84% de chances de acerto.


Como já dito, os modificadores influenciam diretamente tanto sobre o espaço amostral como sobre a média. Isso significa que rolar 3d6 + 2 implica em um espaço amostral de 6 a 21, e uma média de 10,5 + 2 = 12,5. O desvio padrão e a variância permanecem inalterados, e a probabilidade de ocorrência de 5 em 3d6+2 é igual a de 3 em 3d6, pois 5 = 3 + 2. A probabilidade de ocorrência de 6 é igual a de 4, p(7) = p(5) etc. Vide tabela abaixo:

Logo, a faixa dos 68% encontra-se entre:
12,5 - 3 = 9,5
12,5 + 3 = 15,5
Conclusão: Espera-se que 68% dos resultados saiam entre 10 e 15.


Caso tenha gostado, veja também no post abaixo:
Conceitos Estatísticos para RPG 3: Sistema de Dano GURPS

Curiosidade:


Apesar de a distribuição probabilística de 2d6 não ser gaussiana (veja figura abaixo), se analisadas as estatísticas dessa rolagem, os números não se situam muito longe das faixas 68%/ 95%/ 99,7%. Observe na figura abaixo:

Você pode estar pensando: Ele pegou quase metade dos números que podem sair é obvio esperar que eles sejam rolados metade das vezes!
Errado! A afirmação acima é válida para o intervalo de 5 a 9, que são aqueles que circundam a média. Se eu tomar outros 5 numeros de 2 a 12 não necessariamente terei 68% de chance de resultado. Por exemplo, o conjunto 2,3,4,11,12 soma apenas 25% de chance de probabilidade.

D&D e seus d8s, d20s e d37s

Todo mundo gosta daquela espada mágica de fogo no final do livro que custa 8000 POs (perdoem-me mas eu só comprei a 3a edição, não sei se a espada custa isso na 4.0!) que tem dano 1d8 + 1d6 (mágico por fogo). Aqui vai uma tabela só para vocês que curtem d20 system.

Reparem que a regra dos 68 -95 -99 não é válida para a rolagem de 1d8+1d6. Por que? Porque primeiramente a distribuição não é normal e segundo, estamos somando dados cuja probabilidade de rolagem de cada face é diferente (1/8 + 1/6), e isso (provavelmente) induz alguma não linearidade da distribuição probabilística. (para melhor compreensão, vide abaixo WOLFRAM ALPHA).


Já na rolagem de 2d8, a regra 68, 95 e 99 é válida de novo1! Reparem também que a rolagem de 2d8 não possui distribuição normal de probabilidades.

E vieram me perguntar: "Rikus, como eu calculo a margem probabilística de 3d37 mais 5d48?". Fácil! Até poderia calcular isso na mão mas graças a Deus hoje já existe algoritmo para isso. Entra no Wolfram Alpha (http://www.wolframalpha.com), site muito usado para resolver até mesmo derivadas e integrais, e digita:

3d37+5d48


Pronto! Ele calcula tudo (desvio padrão, média, variância, distribuição probabilística). 


Conclusão


Tudo que escrevi nesse tópico não faz sentido por si só. É preciso usar as ferramentas aqui explicitadas para melhor equilibrar o jogo de RPG, associando-as a fatos como:


1. Pontos de vida de um Personagem
2. Chance de Acertar ataques
3. Chance de inflingir danos elevados ou baixos demais
4. Até onde permitir itens mágicos, qual o poder efetivo deles e sua influência no jogo
5. Outros


Isso será melhor desenvolvido no próximo tópico:
Conceitos Estatísticos para RPG 3: Aplicação no sistema.


Bom pessoal, por hoje é isso. Prometo não postar nada tão trabalhoso como isso até o final do mês. Um grande abraço, espero que tenham gostado e bons jogos a todos!
Comentários, dúvidas, perguntas, ajuda na prova de estatística/matemática são mais ou menos bem vindas.

1 Conceito válido para distribuições normais. A distribuição probabilística de 2d6 ou 2d8 não configura uma normal, porém, as proporções se mantiveram de forma muito aproximada. Achei isso curioso, por isso resolvi postar.Já a distirbuição probabilística de 3d6s é normal e a regra dos 68 -95 - 99 é válida.